準ファイバー空間

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　ファイバー空間（fibration）をさらに弱めた準ファイバー空間（quasifibration）という概念がある。fibrationやfiber bundleの広域的な解釈が「押しつぶす」のニュアンスなら、その枠組みに一番適しているのはquasifibrationである。「ファイバー束とホモトピー」でquasifibrationであってfibrationでない例を取り上げている。
　最も単純に言えば、quasifibrationはfibrationのup to weak equivalence versionである。また、up to homology equivalence versionがhomology fibrationと呼ばれ、【MS75】などでtopological group completionなんかに用いられる。このようなfibration up to equivalenceの性質を調べているのは【Vok10】である。
　もちろん別の定義もある。ファイバー束（fiber bundle）が局所自明化、ファイバー空間（fibration）がCHPが核をなすもので、ここからさらに情報を抽出するとしたら一体何を残すべきか。やはりファイバー束やファイバー空間でお世話になったホモトピー群の完全列こそ最重要の性質だと思う。なので、これを定義とする。

　つまりp : E → Bに対して、Bの任意の元bで

が完全列になる、と定義してもいいし、対空間（E,p^{-1}(b)）の完全列はあるので、

　　　　　　　　　　　　

がweak equivalenceになると定義しても良い。さらには、fiberとhomotopy fiberが自然にweak equivalenceになると捉えてもよいはずである。このようにquasi fibrationをweak homotopy equivalenceは密接に関係している。双方の重要な性質はAllen Hatcherの「Algebraic topology」の後半、Dold-Thomの定理の周辺に書かれている。
　ただ、一つ注意したいのはquasifibrationはpullbackをとってもquasifibrationになるかどうか定かではない。pullbackというのはlimitになっているということは以前に話したので、quasifibrationはlimitで保存できないということになる。pullbackが利用できないと、quasifibrationから新たなquasifibrationを作る方法というのは限られてしまう。その中で一つにはDold-Thomの構成法がある。topological group（monoid）から、principal bundle（quasifibration）を構成するのに用いられる。bundleなら「ファイバー束とホモトピー」、topological monoidに関しては【西田85】に詳細が載っている。

　Simplicial setにおいてKan fibrationの実現がSerre fibrationであったように、Simplicial spaceにおけるどんなmorphismの実現がSerre fibrationあるいは、Quasi fibrationになるのかというのは自然な疑問である。Mayは【May72】の中でSimplicial Hurewiz fibrationというものを提示している。

　Dold-Lashoffはある条件を満たすH-spaceをfiberに持つようなquasifibrationでtotal spaceがweakly contractibleなものを構成している。これはMilnorによる空間のjoinを用いたtopological groupをfiberにもつuniversal bundleの構成と似ている。これを構成するなかで、連結なH-spaceに対して、X → X*X → SX というquasi fibrationができる。これを球面のうちH-spaceであるS^{d-1}、ただしd=1,2,4,8に適用すれば、有名なHopf fibration

　　　　　　　　

が誕生する。これは球面のホモトピー群を求める際の有力なツールになる。